私学適性(数学)平成30年度解説 大問5

本の解説三角比・三角関数本の解説

 東京都私学教員適性検査の過去問(平成30年度)の答えを解説付きで載せています。
 問題集の解答例で、解法を調べたい際にご活用ください。
大問1
大問2
大問3
大問4
大問5(本ページ)


 他の年度については、コチラからどうぞ。


 問題集にも載っていますが、解答だけをまずは示します。
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解答


(1)  \(~4\cos^3{x}-3\cos{x}~\)
(2)  \(~\displaystyle 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3}{2}\pi,2\pi~\)
(3)  \(~\displaystyle \frac{16}{3}\)


(1)

 加法定理や2倍角の公式を使って式変形していくと、

\begin{align}
&\cos{3x} \\
&=\cos{(x+2x)} \\
&=\cos{x}\cos{2x}-\sin{x}\sin{2x} \\
&=\cos{x}(2\cos^2{x}-1)-\sin{x}(2\sin{x}\cos{x}) \\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}\sin^2{x} \\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}(1-\cos^2{x}) \\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}+2\cos^3{x} \\
&=4\cos^3{x}-3\cos{x}
\end{align}


\begin{align}
&\cos{3x} \\
&=\cos{(x+2x)} \\
&=\cos{x}\cos{2x}-\sin{x}\sin{2x} \\
&=\cos{x}(2\cos^2{x}-1) \\
&-\sin{x}(2\sin{x}\cos{x}) \\
\\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}\sin^2{x} \\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}(1-\cos^2{x}) \\
&=2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}+2\cos^3{x} \\
&=4\cos^3{x}-3\cos{x}
\end{align}

が求まった。


(2)

  \(~C_{2}~\) の \(~y~\) を \(~C_{1}~\) の \(~y~\) に代入すると、
\begin{equation}
\cos{3x} =\displaystyle \sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right)}
\end{equation}
であり、 \(~\displaystyle \sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right)} =\cos{x}~\) であることを使って、式変形していくと、
\begin{align}
\cos{3x}&=\cos{x} \\
\cos{3x}-\cos{x}&=0 \\
4\cos^3{x}-3\cos{x}-\cos{x}&=0 \\
4\cos^3{x}-4\cos{x}&=0 \\
4\cos{x}(\cos^2{x}-1)&=0 \\
4\cos{x}(\cos{x}+1)(\cos{x}-1)&=0 \\
\end{align}
であり、
\begin{equation}
\cos{x}=-1,0,1
\end{equation}
が求まる。
 
  \(~0 \le x \le 2\pi~\) の範囲で、それぞれの \(~x~\) の値を考えると、
\begin{align}
& \displaystyle \cos{x}=-1 より、x=\pi \\
\\
& \cos{x}=0 より、x=\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi \\
\\
& \cos{x}=1 より、x=0,2\pi \\
\end{align}
である。まとめて、
\begin{equation}
\displaystyle 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3}{2}\pi,2\pi
\end{equation}
が求まった。


(3)

  \(~C_{1},C_{2}~\) をそれぞれグラフにすると、次のようになる。

 上図で示した \(~S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}~\) は、すべて対称的な図形であるため、面積は等しい。 
 したがって、 \(~S_{1}~\) を求めると、
\begin{align}
\displaystyle S_{1}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right)}-\cos{3x}dx \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}-\cos{3x}dx \\
\\
&=\left[ \sin{x}-\frac{1}{3}\sin{3x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
\\
&=1-\frac{1}{3}\cdot (-1) \\
\\
&=\frac{4}{3}
\end{align}
であるため、これを \(~4~\) 倍することで、 \(~\displaystyle \frac{16}{3}~\) が求まった。


 なぜ \(~C_{1}~\) が、 \(~\displaystyle y=\sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right)}~\) と表記されていたのかが謎・・・。 \(~\cos{x}~\) であることに気付けないと、ハマリそうです・・・。

   
 
 


◇参考文献等
・『私学教員適性検査問題集 数学(平成29年度~31年度)』