私学適性（数学）解答・解説

コメント一覧 （34件）

• ありがとうございました。
  体積を使えば良かったんですね…！解決しました

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• なるほど！解決しました。
  ありがとうございます。

  度々すみません。
  H28年度大問5の(3)もお願いしてもよろしいでしょうか。

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  • コメントありがとうございます。
     
    ５の(1)で四面体\(~OABC~\)の体積が、
    \begin{equation}
    V=\frac{1}{6}\alpha^2 \beta
    \end{equation}
    で、（２）で\(~\triangle ABC~\)の面積が、
    \begin{equation}
    S=\frac{\alpha \sqrt{\alpha^2+2\beta^2}}{2}
    \end{equation}
    と求まっています。
     
    　そこで四面体\(~OABC~\)の体積を、\(~\triangle ABC~\)を底面、高さを\(~d~\)として計算すれば、
    \begin{align}
    \frac{1}{3} \cdot S \cdot d &=V \\
    \\
    \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha \sqrt{\alpha^2+2\beta^2}}{2} \cdot d &=\frac{1}{6}\alpha^2 \beta \\
    \end{align}
    となるので、これを解いて
    \begin{equation}
    d=\frac{\alpha \beta}{\sqrt{\alpha^2+2\beta^2}}
    \end{equation}
    と求まります。

    ---

    　ちなみに、平面\(~ABC~\)の方程式が、座標から
    \begin{equation}
    \frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\alpha}+\frac{z}{\beta}=1
    \end{equation}
    とわかるので、原点\(~(0,0,0)~\)から距離の公式を使うと、
    \begin{equation}
    d=\frac{\left| \frac{1}{\alpha}\cdot 0 +\frac{1}{\alpha}\cdot 0+\frac{1}{\beta}\cdot 0 -1 \right|}{\sqrt{\left( \frac{1}{\alpha} \right)^2+\left( \frac{1}{\alpha} \right)^2+\left( \frac{1}{\beta} \right)^2}}
    \end{equation}
    となるので、これを式変形するだけでも答えは求まります。
     
    いかがでしょうか？？

• はじめまして。
  H28何度の大問3の(2)がわかりません。解説をお願い致します。

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  • コメントありがとうございます。

    該当の問題は、反復試行の確率を使うことで求めることができます。
    Ｓのカードを引く確率は\(~\displaystyle \frac{1}{6}~\)、Ｍのカードを引く確率は\(~\displaystyle \frac{1}{3}~\)、Ｌのカードを引く確率は\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)なので、
    \begin{align}
    &~~~_{10}C_1 \cdot _9C_4 \cdot _5C_5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{1}{3} \right)^4\left( \frac{1}{2} \right)^5 \\
    \\
    &=10\cdot 126 \cdot 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3^4} \cdot \frac{1}{2^5} \\
    \\
    &=\frac{35}{432}
    \end{align}
    となります。
     
    　いかがでしょうか？

• ありがとうございます！
  丁寧な解答助かりました。
  本番はロピタルを使おうと思います！

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• 平成25年度の大問6の(1)がわかりません！解答お願いします！ロピタル使わないと答えの出し方がわかりません

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  • 　私学適性検査なので、ロピタルの定理やマクローリン展開を使って、極限を求めても問題ないと思いますよ。
     
    　一応、それらを使わない方法を示しておきますと、

    ---

    \begin{align}
    &~~~\displaystyle \frac{1}{\sin^2{x}}-\frac{1}{x^2} \\
    \\
    &=\frac{x^2-\sin^2{x}}{x^2 \cdot \sin^2{x} } \\
    \\
    &=\frac{(x+\sin{x})(x-\sin{x})}{x^2 \cdot \sin^2{x}} \\
    \\
    &=\frac{x+\sin{x}}{\frac{1}{x} \cdot \sin^2{x} }\cdot \frac{x-\sin{x}}{x^3} \\
    \\
    &=\frac{1+\frac{\sin{x}}{x}}{\frac{\sin^2{x}}{x^2}} \cdot \frac{x-\sin{x}}{x^3} \\
    \end{align}
    　ここで、左辺を\(~x \to 0~\)で極限をとると、\(~\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} \to 1~\)より、
    \begin{equation}
    \displaystyle \frac{1+\frac{\sin{x}}{x}}{\frac{\sin^2{x}}{x^2}} \to \frac{1+1}{1^2}=2
    \end{equation}
    となり、右辺は難しい極限①より、
    \begin{equation}
    \displaystyle \frac{x-\sin{x}}{x^3} \to \frac{1}{6}
    \end{equation}
    となるので、求めたい極限は、
    \begin{equation}
    \displaystyle 2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}
    \end{equation}
    となる。

    ---

    　こんな感じです。他にも方法はあるかもしれませんが、時間がかかるのでロピタルでいいと思います！

• ご無沙汰しております。
  平成30年度の大問2の(1)、三次方程式が2重解をもつ問題で、もっとスマートな解き方を考えたり調べたりしました。
  高次方程式として因数分解ができないか考え、次数が最低のmに関して式変形をすると因数分解することができました。そこから2重解になるようにmの値を調べると2通りの答えが求まりました。
  既出でしたら申し訳ありませんが、もしよければ参考にしてください。

  返信

  • 　悩んでいた問題へのコメント、ありがとうございます。

    　グラフで考えることに固執しすぎてしまいました。
    　しなさんの解法に差し替えたいと思います。大変助かりました！！

• ありがとうございます！
  大変助かりました！

  返信

• すいません、平成26年度の大問4のベクトルの(4)がわかりません！

  返信

  • 　返信が遅れてしまい申し訳ありません。
    　(3)の問題がヒントになっていました。拙字ながらも、解説を書きましたので、ご覧ください。
    平成２６年度大問４

• 解説も是非随時更新して頂けたら幸いです。

  返信

  • 　コメントありがとうございます。
    平成２９～３１年度分は、適性検査前に解説を作る予定です。

    　ただ、それ以前のものについては、なかなか時間が取れなさそうなのが現状です。
    　申し訳ありません。

• 返信遅くなり申し訳無いです。

  解説ありがとうございました！
  しっかり復習して、試験に臨みたいと思います！

  返信

  • 　採用試験や私学適性試験、頑張ってください！！

• こんにちは！またまた質問です！
  H28年度 大問1 (10) 大問2 (2)(3)(5) 大問3 (1)(3) 大問4 (2)

  です！
  お時間ある時で良いので宜しくお願いします。

  返信

  • 　質問ありがとうございます。返信遅れてしまい、申し訳ありません。

    　解説をアップします。
    解説0630

• すみません！再度もう一度解いてみたところ、最初のFukuさんの解答であってそうです！
  本日載せて頂いたPDFでの解答ですと、3x-logx の積分結果を引くのではないでしょうか？

  あくまでも自分の工夫ですが、xlogxのみでまとめた方が分数処理が楽な気がします。

  お時間頂いたのにすみません…

  返信

  • 　あ、納得していただけたのであれば良かったです。
     
    　学生時代に、仲間と解いた解答が正しかったということですな（><）
    　積分計算面倒で、時間内に解き切るのは難しそうですね。
     
    　また、何かありましたらご活用ください！

    　

• 何度もすみません。県立の教採の勉強してて、少し時間ができたので、再び私学のH26を解いていて、大問6の(3)の答えが解答と異なってしまったので、質問です。

  ちなみに自分はe^2(e^4+e^2ー２)/4 となってしまいました。
  積分区間は
  ∫［e→α］{x+eー(3xーxlogx)}dx+ ∫［α→e^3］{ーx+e^3ー(3xーxlogx)}dx

  α=e(e^2ー1)/2 ←点Qのx座標

  以前同じ問題を質問しようとしたところ、打ち間違ってしまっていました。失礼致しました。

  お時間ある時で構いませんので、解説宜しくおねがい致します。

  返信

  • 　返信遅れてしまい申し訳ありません。

    　自分も再度積分計算してみましたが、答えが
    \begin{equation}
    \displaystyle \frac{3}{2}e^6-\frac{1}{2}e^4-3e^2
    \end{equation}
    ということになってしまいました(><)   　一応、その計算過程もつけておきます。
    　計算間違いを指摘していただけると幸いです。
    　どうぞご確認ください。
    解説0620

• 丁寧な解説頂きありがとうございます！
  今後も解答活用させて頂きます！

  返信

• こんばんは！
  H.26年度の大問1 (6)(7) 大問5 の解説をして頂きたいです。
  また、大問6は(2)(3)は合ってましたが、(3)は自分はe^2(e^2−1)/2 となってしまいました。こちらも併せて解説頂けたら幸いです。

  宜しくおねがい致します。

  返信

  • 　解答をご活用いただき、ありがとうございます。

    　texで書くと回答に時間がかかってしまうため、拙字ですがpdfでお示しいたします。
    　解説0610

    　また、大問６(3)についてですが、くまさんの解答と自分の解答は同じ意味の数式かと思います。（\(~e^2~\)を分子の中に組み込むかどうかの違い）

    　ご確認よろしくお願いします。

• x.yをsin cos に置換するんですね！
  丁寧な解説ありがとうございました！

  返信

• 唐突なコメント失礼します。

  H25年度 大問2 (2)の解説を作って頂けると幸いです。

  宜しくおねがい致します。

  返信

  • 　ご質問ありがとうございます。
     
    　この問題、\(~x^2+y^2=1~\)であることから、\(~x=\cos{\theta}~,~y=\sin{\theta}~\)とおけます。
     
    　これを求めたい式に代入して、
    \begin{align}
    &~~5x^2+4xy-3y^2 \\
    &=5\cos^2{\theta}+4\cos{\theta}\sin{\theta}-3\sin^2{\theta} \\
    &=5-5\sin^2{\theta}+2\sin{2\theta}-3\sin^2{\theta} \\
    &=5-8\sin^2{\theta}+2\sin{2\theta} \\
    \end{align}
    ここで、\(~\sin^2{\theta}=\displaystyle \frac{1-\cos{2\theta}}{2}~\)なので、
    \begin{align}
    &=\displaystyle 5-8\cdot \frac{1-\cos{2\theta}}{2}+2\sin{2\theta} \\
    \\
    &=5-4(1-\cos{2\theta})+2\sin{2\theta} \\
    &=5-4+4\cos{2\theta}+2\sin{2\theta} \\
    &=1+4\cos{2\theta}+2\sin{2\theta} \\
    \end{align}
    三角関数の合成を使うと、
    
    \begin{align}
    &=1+2\sqrt{5}\left( \cos{2\theta}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+2\sin{2\theta}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \\
    \\
    &=1+2\sqrt{5}\sin{(2\theta+\alpha)}
    \end{align}
    

    
    \begin{align}
    &=1+2\sqrt{5}\left( \cos{2\theta}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \right. \\
    & \left. ~~~~~~~~~~~~~~~~~+2\sin{2\theta}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \\
    \\
    &=1+2\sqrt{5}\sin{(2\theta+\alpha)}
    \end{align}
    

    （ただし、\(~\alpha~\)は\(~\sin{\alpha}=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}~,~\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}~\)を満たす）
     
    したがって、\(~-1 \le \sin{(2\theta+\alpha)} \le 1~\)から、
    最大値は\(~1+2\sqrt{5}~\)
    最小値は\(~1-2\sqrt{5}~\)
     
    こんな解説でよろしいでしょうか？

• すみません、ありがとうございます！

  自分が接線の引き方を間違えており、再び解き直したら、27/4になりました。

  解説ありがとうございます！！

  返信

• 平成28年度の大問2の(6)の答えは、27/64になりませんでしょうか？

  返信

  • 　ご質問ありがとうございます。
    そして、１週間ほど出張しておりまして、返信が遅くなってしまい申し訳ありません。

    　自分もあらためて計算をしてみました。
     
    ①接線の方程式を求める。
    \(~y=x^3-3x^2+2x~\)を\(~x~\)で微分すると\(~y=3x^2-6x+2~\)です。
    これより、\(~x=0~\)における接線の傾きは\(~2~\)とわかります。

    この接線は\(~(~0~,~0~)~\)を通るので、接線の方程式は\(~y=2x~\)です。

     

    ②３次関数と接線の交点を求める。
    ３次関数と接線を連立方程式で解くと、
    \begin{align}
    x^3-3x^2+2x&=2x \\
    x^3-3x^2&=0 \\
    x^2(x-3)&=0 \\
    \end{align}
    ということで、交点の\(~x~\)座標は\(~x=0,3~\)です。
     

    ③積分をする。
    　開区間\(~(0,3)~\)では、接線のほうが\(~y~\)が大きくなるので、
    \begin{align}
    &~~~\displaystyle \int_{0}^{3} 2x-(x^3-3x^2+2x)~dx \\
    \\
    &=\int_{0}^{3} -x^3+3x^2~dx \\
    \\
    &=\left[ -\frac{1}{4}x^4+x^3 \right]_{0}^{3} \\
    \\
    &=-\frac{81}{4}+27 \\
    \\
    &=\frac{27}{4}
    \end{align}
     
    このように求めたのですが、いかかでしょうか？
    間違っている点があればご指摘くださいm(_ _)m

• どうもです。こちらにコメント欄を設けてくださりありがとうございます。
  平成26年度私学適性の問題を一通り解きまして、一か所だけ解答が異なっていましたので連絡させていただきました。
  大問1　(4)　の平均値、分散を求める問題ですが、分散の答えは4.36になると思います。
  私学適性の略解、とても助かっております！
  平成25年度の問題にも取り組んでみます。

  返信

  • ご連絡ありがとうございます。
    分散の答え、すみません。なんであんな答えになっていたのでしょう・・・（笑）

    平均が4.2、二乗の平均が22なので、
    22-17.64=4.36
    ですね。

    訂正ありがとうございます。助かります！！
    平成２５年以前の問題も、何かありましたらご連絡お待ちしています。