私学適性（数学）平成30年度解説　大問１

2020年7月26日本の解説本の解説

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　問題集にも載っていますが、解答だけをまずは示します。
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１(1)

\begin{align}
&(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) \\
&=\left\{(x-1)(x+2)\right\} \left\{(x-3)(x+4)\right\} \\
&=(x^2+x-2)(x^2+x-12) \\
\end{align}
　ここで、 \(~x^2+x=A~\) とおくと、
\begin{align}
&=(A-2)(A-12) \\
&=A^2-14A+24 \\
&=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24 \\
&=x^4+2x^3+x^2-14x^2-14x+24 \\
&=x^4+2x^3-13x^2-14x+24 \\
\end{align}
が求まった。

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１(2)

\begin{align}
&\sqrt{7-\sqrt{48}} \\
&=\sqrt{7-2\sqrt{12}} \\
&=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} \\
\end{align}
　 \(~2-\sqrt{3} \ge 0~\) より、
\begin{equation}
\sqrt{7-\sqrt{48}}=2-\sqrt{3}
\end{equation}
が求まった。

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１(3)

　それぞれの数を \(~\log_{3}{X}~\) の形で表す。
 
\begin{align}
7&=7\log_{3}{3} \\
&=\log_{3}{3^7} \\
&=\log_{3}{2187}
\end{align}

\begin{align}
3\log_{3}{2}+\log_{3}{5}+1&=\log_{3}{2^3}+\log_{3}{5}+\log_{3}{3} \\
&=\log_{3}{(2^3 \times 5 \times 3)} \\
&=\log_{3}{120}
\end{align}

\begin{align}
&3\log_{3}{2}+\log_{3}{5}+1 \\
&=\log_{3}{2^3}+\log_{3}{5}+\log_{3}{3} \\
&=\log_{3}{(2^3 \times 5 \times 3)} \\
&=\log_{3}{120}
\end{align}

\begin{align}
4\log_{3}{4} &=\log_{3}{4^4} \\
&=\log_{3}{256} \\
\end{align}
 
　底は \(~3 > 1~\) であるため、真数を比較して、
\begin{equation}
3\log_{3}{2}+\log_{3}{5}+1 < 4\log_{3}{4} < 7 \end{equation} が求まった。

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１(4)

　関数 \(~x=3y^2-4y~\) を \(~y~\) で微分すると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{dx}{dy}=6y-4
\end{equation}
である。
　 \(~y \neq \displaystyle \frac{2}{3}~\) であることから、 \(~6y-4 \neq 0~\) なので、両辺逆数をとって、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{6y-4}
\end{equation}
が求まった。

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１(5)

　部分積分法で計算していくと、

\begin{align}
&\displaystyle \int_{-2}^{2}(x+2)(x-2)^3dx \\
\\
&=\int_{-2}^{2}(x+2)\left\{ \frac{1}{4}(x-2)^4 \right\}’ dx \\
\\
&=\left[ (x+2) \frac{1}{4}(x-2)^4 \right]_{-2}^{2}-\int_{-2}^{2}\frac{1}{4}(x-2)^4dx \\
\\
&=0-\left[ \frac{1}{20}(x-2)^5 \right]_{-2}^{2} \\
\\
&=-\left( -\frac{1}{20}(-4)^5 \right) \\
\\
&=-\frac{256}{5}
\end{align}

\begin{align}
&\displaystyle \int_{-2}^{2}(x+2)(x-2)^3dx \\
\\
&=\int_{-2}^{2}(x+2)\left\{ \frac{1}{4}(x-2)^4 \right\}’ dx \\
\\
&=\left[ (x+2) \frac{1}{4}(x-2)^4 \right]_{-2}^{2} \\
&-\int_{-2}^{2}\frac{1}{4}(x-2)^4dx \\
\\
&=0-\left[ \frac{1}{20}(x-2)^5 \right]_{-2}^{2} \\
\\
&=-\left( -\frac{1}{20}(-4)^5 \right) \\
\\
&=-\frac{256}{5}
\end{align}

が求まった。

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１(6)

　 \(~x~\) 点以外の５つの点数を数直線上に表すと、次のようになる。

　 \(~x~\) 点を加えた６つの点数の中で、 \(~x~\) の位置を次のように場合分けする。

①　２位以上のとき（72点以上）
②　単独３位のとき（71点）
③　３位タイのとき（70点）
④　単独４位のとき（69点）
⑤　５位以下のとき（68点以下）

①のとき、中央値は72点と70点の間にあるので、71点
 
②のとき、中央値は71点と70点の間にあるので、70.5点
 
③のとき、中央値は70点と70点の間にあるので、70点
 
④のとき、中央値は70点と69点の間にあるので、69.5点
 
⑤のとき、中央値は70点と68点の間にあるので、69点
 
　以上より、 \(~69点,69.5点,70点,70.5点,71点~\) が求まった。

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１(7)

　 \(~y=x^3+3x^2-3~\) を \(~x~\) で微分すると、
\begin{equation}
y’=3x^2+6x
\end{equation}
となるため、 \(~x=-2~\) における接線の傾きは、
\begin{equation}
3\cdot (-2)^2+6\cdot (-2)=0
\end{equation}
である。
 
　よって、接線 \(~y=0x+b~\) に \(~(-2,1)~\) を代入して、 \(~b=1~\) 。
　したがって、直線 \(~y=1~\) が接線となる。

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１(8)

　 \(~4^x-4^{-x}=3~\) の両辺を2乗して計算していく。
\begin{align}
(4^x-4^{-x})^2&=3^2 \\
4^{2x}-2\cdot 4^x \cdot 4^{-x}+4^{-2x}&=9 \\
4^{2x}-2+4^{-2x}&=9 \\
4^{2x}+4^{-2x}&=11 \cdots ①\\
\end{align}
 
　次に、①を使って \(~(4^x+4^{-x})^2~\) の値を考える。
\begin{align}
&(4^x+4^{-x})^2 \\
&=4^{2x}+2\cdot 4^x \cdot 4^{-x}+4^{-2x} \\
&=4^{2x}+4^{-2x}+2 \\
&=11+2 \\
&=13
\end{align}
　ここで、 \(~4^x > 0,4^{-x} > 0~\) より、 \(~4^x+4^{-x} > 0~\) なので、
\begin{equation}
4^x+4^{-x}=\sqrt{13}
\end{equation}
が求まった。

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１(9)

\begin{align}
\displaystyle r&=\frac{1}{\sin{\theta}+\cos{\theta}} \\
\\
r(\sin{\theta}+\cos{\theta})&=1 \\
\\
r\sin{\theta}+r\cos{\theta}&=1 \\
\end{align}
\(~x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}~\) なので、
\begin{equation}
x+y=1
\end{equation}
が求まった。

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１(10)

　
　三平方の定理より、 \(~BC=\sqrt{6^2+8^2}=10~\)

　 \(~\triangle ABC~\) の面積を２通りの方法で表すと、
\begin{align}
\triangle ABC&=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8=24 \\
\\
\triangle ABC&=\frac{r}{2}(6+8+10)=12r
\end{align}
であるため、 \(~12r=24~\) より、 \(~r=2~\) が求まった。

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◇参考文献等
・『私学教員適性検査問題集　数学（平成29年度～31年度）』