$~\displaystyle \stackrel{\large\frown}{AB}=\ell~,~OB=a~,~OD=d~$として、
すなわち、
\frac{\ell}{a}=\frac{a}{d}を背理法で示す。
各線分や弧の長さを文字でおく
(1) $~\displaystyle \frac{\ell}{a} < \frac{a}{d}~$と仮定する。
このとき、$~d < d^{~\prime} ~$となる$~d^{~\prime}~$が存在し、
\frac{\ell}{a}=\frac{a}{d^{~\prime}}~~~\cdots ①である。
$~\ell > a~$より、$①$から$~a > d^{~\prime}~$。（各分数、分子のほうが大きい）
したがって、$~ a> d^{~\prime} > d~$なので、$~OD^{~\prime}=d^{~\prime}~$となる$~D^{~\prime}~$は$~OB~$上に次の図のようにとれる。
d’ の長さを持つ線分OD’
この図において、$~O~$を中心に$~OD^{~\prime}~$を半径とする円を描き、$~OA~$、円積線との交点を$~E~,~F~$、$~\displaystyle \stackrel{\large\frown}{ED^{~\prime}}=\ell^{~\prime}~$とする。
OD’ を半径とする扇形
扇形$~OD^{~\prime}E~$∽ 扇形$~OBA~$より、
\begin{align*}
\ell:a&=\ell^{~\prime}:d^{~\prime} \\
\
\frac{\ell}{a}&=\frac{\ell^{~\prime}}{d^{~\prime}}~~~~\cdots ②
\end{align*}なので、$①$と$②$より、
\begin{align*}\frac{a}{d^{~\prime}}&=\frac{\ell^{~\prime}}{d^{~\prime}} \\
\\
a&=\ell^{~\prime} ~~~\cdots③
\end{align*}が求められた。
次に、$~F~$から$~OB~$に垂線$~FH~$をひく。
円積線との交点からOBに垂線をひく
円積線の定義から、円積線上の点の高さと角度は比例するため、
\begin{align*}
\angle BOF:\angle BOA&=FH:OA \\
&=FH:a ~~~\cdots ④
\end{align*}であり、扇形の中心角と弧の長さは比例するため、
\begin{align*}
\angle BOF:\angle BOA&= \stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~:~\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}E} \\
&=\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~:~\ell^{~\prime} ~~~\cdots ⑤
\end{align*}となる。
$④$と$⑤$より、
\begin{align*}
FH:a&=\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~:~\ell^{~\prime} \\
a\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~&=~\ell^{~\prime}FH
\end{align*}であり、ここに$③$を代入することで、
\begin{align*}
a\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~&=~aFH \\
\stackrel{\large\frown}{D^{~\prime}F}~&=~FH \\
\end{align*}が求められた。
FHと弧DFが同じ長さになるわけない
しかし、弧と線分の長さが同じになってしまうため、矛盾。
したがって、$~\displaystyle \frac{\ell}{a} < \frac{a}{d}~$ではないことが示された。
(2) $~\displaystyle \frac{\ell}{a} > \frac{a}{d}~$と仮定した場合も同様の方法で否定される。
(1),(2)より、$~\displaystyle \frac{\ell}{a} = \frac{a}{d}~$が示された。$~~\blacksquare~$
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