数学史3-4 ~バビロニアの数学(計算)~

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 \(~60~\)進法を使っていたバビロニアでは、四則計算もそれに合った方法で行っていました。加減乗除それぞれの計算方法を解説します。

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Ⅰ 60で位が変わるたし算・ひき算

 「数学史3-2 ~バビロニアの数学(整数)~ 」において、バビロニアの自然数の表し方を解説しました。
 丫と〈 の2文字しかないものの、\(~60~\)で位が1つ上がるという位取り記数法(\(~60~\)進法)を使っていたため、計算方法についても「\(60\)」がキーナンバーとなってきます。
 
 まずはたし算・ひき算の具体例を見てみましょう。

たし算・ひき算の例

たし算の例
↑エジプトと同様、基本は同じ種類の数字をたします。
ひき算の例
↑ \(~60~\)の位と\(~1~\)の位は区別する必要があります。
繰り上がりたし算の例
↑同じ位の中で\(~60~\)ができると、繰り上がりとなります。
ひき算繰り上がりの例
↑同じ位の中で引くことができないときは、上の位から1つ繰り下がります。

 \(~60~\)で1つ位が上がるという点を除けば、わかりやすいかと思います。
 エジプトのたし算・ひき算とも似ていますね。(「数学史2-3 ~エジプトの数学(計算)~」)
 
 ただし、上の4つの例で、\(~+~,~-~,~=~\)といった算術記号はこの時代に無かったことと、必ずしも\(~60~\)の位と\(~1~\)の位を離して書いていたわけではないということに注意してください。


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Ⅱ 調べるだけのかけ算

 \(~60~\)進法はかけ算・わり算する上ではとても不便だったため、ある道具を使って行われました。
 
 その道具とは、数表
 その名の通り、計算結果があらかじめ表形式でまとめられたものです。
 
 かけ算に使われた積の数表の例を見てみましょう。

積表の例

・2の積表

かける数 \(1\) \(2\) \(3\) \(\cdots\) \(19\) \(20\) \(30\) \(40\) \(50\)
\(2\) \(4\) \(6\) \(\cdots\) \(38\) \(40\) \(1,0\) \(1,20\) \(1,40\)

※\(~1,0~\)は、\(~60~\)の位が1、\(~1~\)の位が0であることを表します。
 
・16の積表

かける数 \(1\) \(2\) \(3\) \(\cdots\) \(19\) \(20\) \(30\) \(40\) \(50\)
\(16\) \(32\) \(48\) \(\cdots\) \(5,4\) \(5,20\) \(8,0\) \(10,40\) \(13,20\)

 以上の例からもわかるよう、元の数に

\(~1~\),\(~2~\),\(~3~\),\(~\cdots~\),\(~19~\),\(~20~\),\(~30~\),\(~40~\),\(~50~\)

をそれぞれかけた結果を表にしています。(逆に、これら以外の数をかけた結果は載っていませんでした。)
 
 元の数(かけられる数)としては、一般的に

\(~2~\),\(~3~\),\(~4~\),\(~5~\),\(~6~\),\(~7~\),\(~8~\),\(~9~\),\(~10~\),\(~12~\),\(~15~\),\(~16~\),\(~18~\),\(~20~\),\(~24~\),\(~25~\),\(~30~\),\(~36~\),\(~40~\),\(~45~\),\(~48~\),\(~50~\),\(~1,15(75)~\),\(~1,20(80)~\),\(~1,30(90)~\),\(~1,40(100)~\),\(~2,15(135)~\),\(~2,24(144)~\),\(~2,30(150)~\),\(~3,20(200)~\),\(~3,45(225)~\),\(~4,30(270)~\),\(~6,40(400)~\),\(~7,12(432)~\),\(~7,30(450)~\),\(~8,20(500)~\),\(~12,30(750)~\),\(~16,40(1000)~\),\(~22,30(1350)~\),\(~44,26,40(160000)~\)

の40種類の数表が用いられていました。
 
 バビロニアにおいて、積を計算するというよりは数表で調べるという言葉のほうが適しているように思えます。


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Ⅲ 数表を利用するわり算

 わり算に関しては、先ほどの積表に加え、下のような逆数表を利用して計算していました。

逆数表

\(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(8\) \(9\) \(10\) \(12\) \(15\)
逆数 \(30\) \(20\) \(15\) \(12\) \(10\) \(7,30\) \(6,40\) \(6\) \(5\) \(4\)
\(16\) \(18\) \(20\) \(24\) \(25\) \(27\) \(30\) \(32\) \(36\) \(40\)
逆数 \(3,45\) \(3,20\) \(3\) \(2,30\) \(2,24\) \(2,13,20\) \(2\) \(1,52,30\) \(1,40\) \(1,30\)
\(45\) \(48\) \(50\) \(54\) \(1\) \(1,4\) \(1,12\) \(1,15\) \(1,20\) \(1,21\)
逆数 \(1,20\) \(1,15\) \(1,12\) \(1,6,40\) \(1\) \(56,15\) \(50\) \(48\) \(45\) \(44,26,40\)

 この表で気を付けなければならないのは、ケタがいくつかずれていることです。
 例として、\(~2~\)の逆数なら\(~0;30~\)(\(~;~\)は小数点を表すこととする)、\(~1,4~(64)~\)の逆数なら\(~0;0,56,15~\)となります。
 
 また、\(~11~\)や\(~13~\)のように、\(~60~\)進数において逆数が無限小数となってしまうような数は載っていません。
 
 この逆数表と積表を併用することで、わり算を行うことが可能になります。

わり算の例

(1) \(~16\div 3~\)
逆数表より、\(~3~\)の逆数は\(~20~\)
積表より、\(~16 \times 20=5,20~\)
位を1つずらして、\(~16 \div 3=5;20~\)
 
(2) \(~2\div 1,12~\)
逆数表より、\(~1,12~\)の逆数は\(~50~\)
積表より、\(~2 \times 50=1,40~\)
位を2つずらして、\(~2 \div 1,12=0;1,40~\)

 上の計算を、今の分数で考えてみましょう。
\begin{align}
(1)&~~~~16 \div 3 \\
&=16 \times \frac{20}{60} ~~~ (\because ~逆数表) \\
&=16 \times 20 \div 60 \\
&=5,20 \div 60~~~(\because ~積表) \\
&=5;20~~~(\because ~\div 60により位が1つずれる)
\end{align}
\begin{align}
(2)&~~~~2\div 1,12 \\
&=2 \times \frac{50}{3600} ~~~ (\because ~逆数表) \\
&=2 \times 50 \div 3600 \\
&=1,40 \div 3600~~~(\because ~積表) \\
&=0;1,40~~~(\because ~\div 3600により位が2つずれる)
\end{align}
 以上のように、逆数表の段階で何ケタずれているのかを考えてあげないと、商の位もずれてしまいます。
 現存する資料においても、当時のバビロニア人が位取りでミスをしていた記録が残っています。
 
 ちなみに、数表は積表や逆数表だけでなく、「平方数表」、「立方数表」、「平方根表」、「立方根表」、さらには「連続する3つの積を表した表」などもあり、バビロニア人は問題を解くうえで活用していました。
 数表が\(~60~\)進法の計算しにくさを克服する手段となっていたのは間違いありません。


  数表、チートじゃない?
ふくすけ笑顔
  でも、小数点が無かったから、わり算は特に位取りのミスが多かったんだ。
  計算するうえでは、60進法不便だなぁ。
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◇参考文献等
・上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳(2009)『カッツ 数学の歴史』,pp.16-18,共立出版.
・中村滋・室井和男(2015)『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.42-47,共立出版.
・志賀浩二(2014)『数学の流れ30講(上)ー16世紀までー』,pp.7-13,朝倉書店.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳(2018)『メルツバッハ&ボイヤー 数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,pp.26-28,朝倉書店.
・中村滋(2019)『ずかん 数字』,pp.52-57,技術評論社.
・アダム・ハート=デイヴィス(2020)『フィボナッチの兎 偉大な発見でたどる数学の歴史』,pp.18-20,創元社.

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Posted by Fuku