数学史5-8 ~紀元前の中国(二次方程式)~

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 三平方の定理を使う問題が高度になるほど、避けられなくなってくる二次方程式。
 紀元前の中国でよく出てきた二次方程式のパターンとその解法を紹介します。

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Ⅰ 紀元前の中国の型

 中国もバビロニアと並んで二次方程式の研究が進んでおり、その成果が『九章算術』9章の「句股」の後半部分に載っていました。
 
 この「句股」は三平方の定理のことで、前半部分は未知数が結果的に一次になったり、\(~x^2=a~\)から開平法を使って\(~x=\sqrt{a}~\)の値を求めたりと、計算上の困難はありませんでした。
 
 しかし、「句股」の後半部分では、\(~ax^2+bx+c=0~\)の一般形までは登場しないまでも、特殊な型の二次方程式が出てきます。
 その代表が次の問題です。

『九章算術』9章 問題11

 今戸の高さが広より\(~6~\)尺\(~8~\)寸多く、対角の距離が\(~1~\)丈のものがある。
 戸の高さと広はそれぞれいくらか。

大川俊隆・田村誠「『九章算術』訳注稿(30)」より引用

 図にすると、次のような戸(扉)になります。
9章問題11 図
 ここで、戸の高さを\(~x~\)、戸の広(横幅)を\(~y~\)とすると、三平方の定理を使うことで、次の連立方程式が出来上がります。
\begin{cases}
&x-y=68 \\
&x^2+y^2=100^2 \\
\end{cases}
 実は、この種の二次方程式が紀元前の中国ではよく使われていて、『九章算術』では次のような解法が記されています。

『九章算術』9章 問題11 解法

 \(~1~\)丈を自乗して実とする。
 高さと広の差を半分にして、自乗してから倍にし実から引いて、その余りを開平方する。
 得られた数値から高さと広の差の半分を引くと、戸広の長さとなる。
 また、得られた数値に高さと広の差の半分を足すと戸高の長さとなる。

大川俊隆・田村誠「『九章算術』訳注稿(30)」より引用

 これを先ほどの問題の数値をあてはめると、
\begin{align}
x&=\sqrt{ \left\{ 100^2-\left(\frac{68}{2} \right)^2 \times 2 \right\}\times \frac{1}{2} }-\frac{68}{2} \\
\\
y&=\sqrt{ \left\{ 100^2-\left(\frac{68}{2} \right)^2 \times 2 \right\}\times \frac{1}{2} }+\frac{68}{2}
\end{align}
という計算をして求めていることになります。
 実際に計算をすると、\(~x=28~\)寸(\(~2~\)尺\(~8~\)寸)、\(~y=96~\)寸(\(~9~\)尺\(~6~\)寸)という正しい答えが出てきます。
 
 なぜ、この数式で解くことができるのかを次章で考えてみましょう。


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Ⅱ 解法の意味

 『九章算術』は、紀元後263年に劉徽りゅうきによって、注釈本が書かれており、その中でこの二次方程式
\begin{cases}
&x-y=d \\
&x^2+y^2=c^2
\end{cases}
の解が
\begin{cases}
x&=\displaystyle \sqrt{ \left\{ c^2-2\left(\frac{d}{2} \right)^2 \right\}\times \frac{1}{2} }-\frac{d}{2} \\
\\
y&=\displaystyle \sqrt{ \left\{ c^2-2\left(\frac{d}{2} \right)^2 \right\}\times \frac{1}{2} }+\frac{d}{2} \\
\end{cases}
となる理由を、図入りで解説していました。
 それを現代数学で噛み砕いた形で説明します。

『九章算術』9章 問題11 解法の意味

 \(~x~,~y~\)の長さを持つ長方形を\(~4~\)つ用意し、次のような大きな正方形\(~ABCD~\)を作る。
9章問題11 解説1
 このとき、正方形\(~IJKL~\)の一辺の長さは、\(~x-y=d~\)で、正方形\(~EFGH~\)の一辺の長さは三平方の定理より、\(~\sqrt{x^2+y^2}=c~\)である。
9章問題11 解説2

 ここで、\(~\triangle AEH~\)の面積を\(~P~\)、正方形\(~IJKL~\)の面積を\(~4Q~\)とすると、正方形\(~EFGH~\)の面積より、
\begin{equation}
4P+4Q=c^2 ~~~\cdots ①
\end{equation}
が成り立つ。
 
 また、正方形\(~IJKL~\)を四分割することで、
\begin{equation}
Q=\left( \frac{d}{2} \right)^2 ~~~\cdots ②
\end{equation}
となる。
9章問題11 解説3

 \(~① – 2\times ②~\)より、
\begin{equation}
4P+2Q=c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2
\end{equation}
であり、これを両辺\(~2~\)でわると、
\begin{equation}
2P+Q= \left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}
\end{equation}
となる。
 
 この\(~2P+Q~\)は、正方形\(~ABCD~=8P+4Q~\)の\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)となっているため、\(~2P+Q~\)の平方根をとることで、正方形\(~ABCD~\)の一辺の半分の長さ\(~\displaystyle \frac{x+y}{2}~\)が求まる。

9章問題11 解説4

以上より、
\begin{equation}
\frac{x+y}{2}=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}~~~\cdots ③
\end{equation}
 最後に、\(③\)に\(~\displaystyle \frac{x-y}{2}=\frac{d}{2}~\)をたすことで、

\begin{align}
\frac{x-y}{2}+\frac{x-y}{2}&=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}+\frac{d}{2} \\
\\
x&=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}+\frac{d}{2}
\end{align}
であり、\(③\)から\(~\displaystyle \frac{x-y}{2}=\frac{d}{2}~\)をひくことで、
\begin{align}
\frac{x-y}{2}-\frac{x-y}{2}&=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}-\frac{d}{2} \\
\\
y&=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}-\frac{d}{2}
\end{align}

\begin{equation}
x=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}+\frac{d}{2}
\end{equation}
であり、\(③\)から\(~\displaystyle \frac{x-y}{2}=\frac{d}{2}~\)をひくことで、
\begin{equation}
y=\sqrt{\left\{ c^2-2\cdot \left( \frac{d}{2} \right)^2 \right\} \cdot \frac{1}{2}}-\frac{d}{2}
\end{equation}

が求まった。\(~~~\blacksquare~\)

 中国でおなじみの三平方の定理の証明の図(下図)から、式の意味を理解することができました。
周髀算經の三平方の定理
 開平法からもわかるように、紀元前の中国では幾何学的着想により、多様な問題の解法アルゴリズムが整っていたようです。


 解の公式を覚えた方が遥かに楽だということがわかりました。
ふくすけ笑顔
 昔はパターンごとに解法が分かれていたから、覚えるのも一苦労だったろうね。
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◇参考文献等
・大川俊隆・田村誠「『九章算術』訳注稿(30)」,< https://osu.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=2016&item_no=1&page_id=13&block_id=21よりダウンロード>
・ヴィクターJカッツ著,上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳(2009)『カッツ 数学の歴史』,pp.41-42,共立出版.
・中村滋・室井和男(2015)『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.135-137,共立出版.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳(2018)『メルツバッハ&ボイヤー 数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,p.194,朝倉書店.
・中村滋(2019)『ずかん 数字』,pp.70-77,技術評論社.
・ジョニー・ボール著,水谷淳訳(2018)『数学の歴史物語』,pp.167-183,SB Creative.

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Posted by Fuku